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Fiche récapitulative sur la numération

I.       Définitions

Numération de position : Elle permet d’écrire n’importe quel nombre avec un nombre limité de chiffres. La « valeur » des chiffres dépend de leur position dans le nombre (ex : 01 et 10).

Numération additive : Dans la numération additive, chaque chiffre possède une valeur propre et la valeur du nombre s’obtient en additionnant tous les chiffres (ex : XI = 10 + 1, XXIII = 23).

II.   La numération de position

• Digit : symbole (par exemple, chiffre) utilisé pour l'écriture d'un nombre, en numération de position
• Poids : en numération de position, chaque digit a un poids différent en fonction de sa position. On multiplie le nombre représenté par le digit par le poids de celui-ci, pour connaître la valeur représentée par le digit.

è Comment passer d’une base X vers une base 10 ?

Nous voulons par exemple convertir le nombre (764278)_X.

On a donc (764278)_X = 7 x X⁵ + 6 x X⁴ + 4 x X³ + 2 x X² + 7 x X¹ + 8 x X⁰

Si la base X = 9, on convertit donc un nombre de la base 9 vers la base 10.

On obtient alors, (764278)₉ = 7 x 9⁵ + 6 x 9⁴ + 4 x 9³ + 2 x 9² + 7 x 9¹ + 8 x 9⁰ = 455858.

è Comment passer de la base 10 vers une base X ?

Il suffit de réaliser une division euclidienne du nombre à convertir par X. Et ensuite de relever tous les restes de la division.

Reprenons l’exemple précédent avec X = 9. On cherche donc à convertir 455858 en base 9. On réalise donc la division euclidienne de 455858 par 9 :

On obtient donc 455858 = (764278)₉. On retrouve bien le nombre du paragraphe précédent.

III.           Bases particulières

è Base binaire (2) :

Une des bases les plus utilisées après la base 10 est la base 2. Les chiffres possibles sont 0 et 1. Cette base est utilisée en informatique.

·         Quelques propriétés :

ü  Les nombres pairs finissent par un zéro et les nombres impairs par un 1.

ü  La plus grande valeur que l'on puisse écrire sur n digits binaires est 2ⁿ-1

ü  En utilisant au plus n digits, on peut compter de 0 à 2ⁿ-1, soit 2ⁿ valeurs différentes.

Par exemple sur un octet (8 bits), on peut compter de 0 à 2⁸-1=255. On peut donc coder 256 valeurs différentes sur un octet.

·         Unités de mesure :

ü  Un octet (en anglais : byte) = 8 bits

ü  1 kilo-octet (Ko ou Kb) = 2¹⁰ octets = 1024 octets

ü  1 mega-octet (Mo ou Mb) = 2²⁰ octets= 1 048 576 octets =1024 kilo-octets.

ü  Etc.

è Base hexadécimale (16) :

Cette base est aussi très utilisée en informatique car il est très facile de convertir un nombre de la base 2 à la base 16 (ou inversement) sans repasser par la base 10.

Pour les bases supérieures à 10, on utilise des lettres pour représenter les chiffres supérieurs à 9.

·          Représentation des nombres de 0 à 15

·         Conversion hexadécimal-binaire :

ü  Puisque 16=2⁴, un seul digit hexadécimal remplace quatre digits binaires (quartet).

ü  Exemples :